Τυχαία μεταβλητή - ρίψη ενός κέρματος

Έστω πως πραγματοποιούμε το πείραμα ρίψης ενός κέρματος και παρατηρούμε την πλευρά του κέρματος. Αυθαίρετα θεωρούμε πως επιτυχία είναι να φέρουμε κεφαλή (κουκουβάγια).

Ρίψη	Επιτυχία	Πιθανότητα
	\(X=0\)	\(P(X=0) = 1/2\)
	\(X=1\)	\(P(X=1) = 1/2\)

Κατανομή πιθανότητας

Υπάρχουν δύο δυνατά ενδεχόμενα (\(X\)), Κ(εφαλή) και Γ(γράμματα). Κάθε ενδεδχόμενο μπορεί να συμβεί με συγκεκριμένη πιθανότητα, εδώ ίση με 1/2. Οι τιμές που παίρνει η πιθανότητα (\(P(X)\)) εμφάνισης κάθε ενδεχομένου προέρχεται από την κατανομή πιθανότητας.

Τυχαία μεταβλητή - ρίψη δύο κερμάτων

Ρίψη	Επιτυχία	Πιθανότητα
	\(X=0\)	\(P(X=0) = 1/4\)
	\(X=1\)	\(P(X=1) = 2/4\)
	\(X=2\)	\(P(X=2) = 1/4\)

\(\Omega = \{0, 1, 2\}\)

Τυχαία μεταβλητή - ρίψη τριών κερμάτων

Ρίψη	Επιτυχία	Πιθανότητα
	\(X=0\)	\(P(X=0) = 1/8\)
	\(X=1\)	\(P(X=1) = 3/8\)
	\(X=2\)	\(P(X=1) = 3/8\)
	X=3	P(X=3) = 1/8

\(\Omega = \{000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111\}\)

Ζάρι και πιθανότητες

Ας υποθέσουμε πως ρίχνουμε ένα ζάρι. Κάθε πιθανό αποτέλεσμα (1 έως 6) έχει πιθανότητα ίση με 1/6 (αμερόληπτο ζάρι).

x <- 1:6
y <- rep(1/6, 6)
plot(x, y, type = "h", lwd = 2)
points(x, y, pch = 19, cex = 2)

Τυχαία δειγματοληψία

Να πως μπορούμε να κάνουμε προσομοίωση ρίψης ενός ζαριού:

sample(x = 1:6, size = 1)

[1] 3

• x, είναι το διάνυσμα τιμών από όπου θα λάβουμε το δείγμα
• size, είναι το μέγεθος του δείγματος.

Στο παραπάνω ## Ένας τυχαίο ενδεχόμενο

Προσομοίωση στην R

Αντί να ρίξουμε κέρμα (πείραμα Κεφαλή/Γράμματα) ας ζητήσουμε από τον υπολογιστή έναν τυχαίο αριθμό 0 (επιτυχία) ή 1 (αποτυχία) με πιθανότητα \(p = 1/2\)

rbinom(n = 1, size = 1, prob = 0.5)

[1] 0

Η διαδικασία ονομάζεται προσομοίωση: υποκαθιστούμε μια φυσική διαδικασία με μια νοητή, και μάλιστα μέσω Η/Υ (υπολογιστική προσομοίωση)

Πολλά κέρματα

Ας υποθέσουμε τώρα πως ρίχνουμε 10 κέρματα:

rbinom(n = 10, size = 1, prob = 0.5)

 [1] 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0

Αν θέλουμε μάλιστα μπορούμε να υπολογίσουμε και το πόσες φορές είχαμε επιτυχία:

x <- rbinom(n = 10, size = 1, prob = 0.5)
sum(x)

[1] 6

Επαναλήψεις

Ας υποθέσουμε τώρα πως ρίχνουμε 10 κέρματα από 5 φορές το καθένα:

rbinom(n = 10, size = 5, prob = 0.5)

 [1] 2 3 2 4 4 1 3 4 3 2

Πως το ερμηνεύουμε:

• Στο πρώτο είχαμε επιτυχία 2 φορές
• Στο δεύτερο είχαμε επιτυχία 3 φορές
• …

Στο τηλέφωνο

Ας υποθέσουμε πως καλείτε μέσα στο διάστημα μιας εβδομάδας 8 φίλους σας από 7 φορές τον καθένα (μία φορά κάθε μέρα). Αν η πιθανότητα να απαντήσει κάποιος σε μία κλήση είναι \(p = \frac{3}{4}\), τότε μια τυχαία εβδομάδα θα μπορούσατε να είχατε τα παρακάτω αποτελέσματα:

rbinom(n = 8, size = 7, prob = 3/4)

[1] 7 5 3 6 4 4 3 4

Παρατηρήσεις:

• Ο πρώτος απάντησε 7 (από τις 7) κλήσεις!
• Ο δεύτερος απάντησε 5 (από τις 7) κλήσεις
• …
• Ο όγδοος απάντησε 4 (από τις 7) κλήσεις

Η συνάρτηση dbinom

Η συνάρτηση dbinom υπολογίζει την πυκνότητα πιθανότητας της διωνυμικής κατανομής, την πιθανότητα σε κάποιο \(X=k\).

\[ \Pr(k;n,p) = \Pr(X = k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \]

\[ \binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Στην R γράφουμε:

dbinom(x = k, size = n, prob = b)

Ρίψη κέρματος 1 φορά

Επιτυχία: \[\Pr(X=1) = \binom{2}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(1-\frac{1}{2}\right)^{(2-1)} = \frac{2!}{1!(2-1)!}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]

dbinom(x = 1, size = 1, prob = 0.5)

[1] 0.5

Αποτυχία: \[\Pr(X=0) = \binom{2}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(1-\frac{1}{2}\right)^{(2-1)} = \frac{2!}{1!(2-1)!}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]

dbinom(x = 0, size = 1, prob = 0.5)

[1] 0.5

Σύντομη εντολή

Αν ρίξουμε 1 φορά (\(n\)=size=1) 1 κέρμα έχουμε ενδεχόμενα είτε:

• 0 επιτυχία (\(k=0\))
• 1 επιτυχία (\(k=1\)).

Μπορούμε να συντομεύσουμε τους υπολογισμούς ως εξής:

dbinom(x = 0:1, size = 1, prob = 0.5)

[1] 0.5 0.5

Όλα τα πιθανά ενδεχόμενα : expand.grid

Ας υποθέσουμε πως κάνουμε ένα πείραμα με δύο πιθανά ενδεχόμενα (ρίψη κέρματος). Αναπαριστούμε τα αποτελέσματα με 0 (αποτυχία) και 1 (επιτυχία). Αν κάνουμε δύο πειράματα (2 ρίψεις) ποια είναι τα πιθανά αποτελέσματα;

Να πώς μπορούμε να το δούμε αυτό στην R:

s <- 0:1
expand.grid(s, s) 

  Var1 Var2
1    0    0
2    1    0
3    0    1
4    1    1

Δοκιμάστε τα παρακάτω και σχολιάστε το αποτέλεσμα:

s <- 1:6
expand.grid(s, s) 

s <- 0:1
expand.grid(s, s, s) 

Δύο επαναλήψεις

Πιθανά ενδεχόμενα με δύο ρίψεις:

s <- 0:1
expand.grid(s, s) %>% 
  mutate(k = Var1 + Var2) %>% 
  count(k) %>% 
  mutate(p = n / sum(n))

  k n    p
1 0 1 0.25
2 1 2 0.50
3 2 1 0.25

Παρατηρήσεις:

• 0 επιτυχίες = 1 φορά = 1/4 πιθανότητα
• 1 επιτυχία = 2 φορές = 1/2 πιθανότητα
• 2 επιτυχίες = 1 φορά = 1/4 πιθανότητα

Εύκολος υπολογισμός

Δύο ρίψεις με πιθανότητα επιτυχίας 1/2

dbinom(x = 0:2, size = 2, prob = 1/2)

[1] 0.25 0.50 0.25

Ακόμα καλύτερα μπορούμε να δώσουμε μια πιο γενική λύση

x <- 0:2
dbinom(x = x, size = length(x)-1, prob = 1/2)

[1] 0.25 0.50 0.25

ή ακόμα καλύτερα:

n <- 2
x <- 0:n
dbinom(x, size = n, prob = 1/2)

[1] 0.25 0.50 0.25

Ακιδόγραμμα (base plot)

n <- 2
k <- 0:n
d <- dbinom(x = k, size = n, prob = 0.5)
plot(k, d, type = "h", lwd = 2, ylim = c(0, 0.5))
points(x, d, cex = 2, pch = 19)

Ακιδόγραμμα (ggplot)

n <- 2
k <- 0:n
d <- dbinom(x = k, size = n, prob = 0.5)
df <- tibble(k, d)
ggplot(df, aes(x = k, y = d)) + 
  geom_segment(x = k, y = 0, xend = k, yend = d, size = 1) +
  geom_point(size = 6) +
  scale_x_continuous(breaks = 0:n) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, NA)) +
  theme_cowplot(font_size = 28)

Τρεις ρίψεις - Υπολογισμοί

dbinom(x = 0:3, size = 3, prob = 1/2)

[1] 0.125 0.375 0.375 0.125

Ακόμα καλύτερα μπορούμε να δώσουμε μια πιο γενική λύση

n <- 3
k <- 0:n
dbinom(x = k, size = n, prob = 1/2)

[1] 0.125 0.375 0.375 0.125

Τρεις ρίψεις - Ακιδόγραμμα

n <- 3
k <- 0:n
d <- dbinom(x = k, size = n, prob = 0.5)
df <- tibble(k, d)
ggplot(df, aes(x = k, y = d)) + 
  geom_segment(x = k, y = 0, xend = k, yend = d, size = 1) +
  geom_point(size = 6) +
  scale_x_continuous(breaks = 0:n) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, NA)) +
  labs(x = "", y = "") +
  theme_cowplot(font_size = 28)

Ασυμμετρία

Προσοχή! Η πιθανότητα επιτυχίας δεν είναι παντού και πάντα 50%.

Αν για παράδειγμα σε ένα τυχαία πείραμα τριών επαναλήψεων η πιθανότητα επιτυχίας είναι 40%, τότε θα έχουμε:

n <- 3
k <- 0:n
dbinom(x = k, size = n, prob = 0.4)

[1] 0.216 0.432 0.288 0.064

Ένα τεστ πολλαπλής επιλογής

Ας υποθέσουμε πως δίνουμε ένα τεστ 10 ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής όπου κάθε ερώτημα έχει 4 πιθανές απαντήσεις. Ποια είναι η πιθανότητα (απαντώντας στην τύχη κάθε ερώτημα) να πετύχουμε σκορ 0 έως 10;

dbinom(x = 0:10, size = 10, prob = 1/4)

 [1] 5.631351e-02 1.877117e-01 2.815676e-01 2.502823e-01 1.459980e-01
 [6] 5.839920e-02 1.622200e-02 3.089905e-03 3.862381e-04 2.861023e-05
[11] 9.536743e-07

Mέση τιμή

Οι τιμές και οι πιθανότητες που μπορεί να πάρει μια διακριτή μεταβλητή δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Ποια είναι η αναμενόμενη (μέση) τιμή;

\[E[h(X)] = \sum_{i=1}{N}h(x)P(x)\]

x = c(0, 1, 2, 3)
P = c(1/8, 3/8, 3/8, 1/8)
sum(x*P)

[1] 1.5

Πιθανότητα περιοχής

Ρίχνουμε ένα κέρμα 4 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε επιτυχία τουλάχιστον 3 φορές;

Απάντηση: 0.25 + 0.0625 = 0.3125

Μαθηματικοί υπολογισμοί

\[\Pr(X=3) = \binom{4}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^1 = \dfrac{4!}{3!\times1!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^1 = 4\times\dfrac{1}{8}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\]

\[\Pr(X=4) = \binom{4}{4}\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^0 = \dfrac{4!}{4!\times0!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1\times\dfrac{1}{16}\times\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{16}\]

\[\Pr(X\ge3) = \Pr(X=3) + \Pr(X=4) = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16} = \dfrac{5}{16}\]

Υπολογισμοί στην R με τη dbinom

Κάθε περίπτωση χωριστά:

dbinom(x = 3, size = 4, prob = 0.5)

[1] 0.25

dbinom(x = 4, size = 4, prob = 0.5)

[1] 0.0625

Συνολικά:

dbinom(x = 3:4, size = 4, prob = 0.5)

[1] 0.2500 0.0625

Αυτό που ζητάμε είναι το άθροισμα:

sum( dbinom(x = 3:4, size = 4, prob = 0.5) )

[1] 0.3125

Υπολογισμοί στην R με την pbinom

Κόκκινη περιοχή

pbinom(q = 2, size = 4, prob = 0.5, lower.tail = TRUE)

[1] 0.6875

Μπλε περιοχή

pbinom(q = 2, size = 4, prob = 0.5, lower.tail = FALSE)

[1] 0.3125

Πωλήσεις και πωλήτρια

Σε ένα πολυκατάστημα μια εξειδικευμένη πωλήτρια προσπαθεί να πουλήσει ένα νέο προϊόν. Η πιθανότητα επιτυχίας της (μετά από κάθε επίδειξη σε πελάτη) είναι 20%.

Αν σε μια ημέρα δει 10 πελάτες, ποια είναι η πιθανότητα να πουλήσει το προϊόν σε 2 από αυτούς;

dbinom(x = 2, size = 10, prob = 0.2)

[1] 0.3019899

\[\Pr(X=2) = \binom{10}{2}\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\left(1-\dfrac{1}{5}\right)^8 = \dfrac{10!}{8!\times2!}\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\left(1-\dfrac{1}{5}\right)^8 = 45\times\dfrac{1}{25}\times\dfrac{65536}{390625} \approx 0.3019899 \]

Ακιδόγραμμα πωλήτριας

Πιθανότητα το πολύ 2 πωλήσεων

pbinom(q = 2, size = 10, prob = 0.2)

[1] 0.6777995

sum(dbinom(x = 0:2, size = 10, prob = 0.2))

[1] 0.6777995

Πιθανότητα τουλάχιστον 3 πωλήσεων

pbinom(q = 2, size = 10, prob = 0.2, lower.tail = FALSE)

[1] 0.3222005

sum(dbinom(x = 3:10, size = 10, prob = 0.2))

[1] 0.3222005

Πιθανότητα τουλάχιστον 5 πωλήσεων

pbinom(q = 4, size = 10, prob = 0.2, lower.tail = FALSE)

[1] 0.0327935

sum(dbinom(x = 5:10, size = 10, prob = 0.2))

[1] 0.0327935

Πιθανότητα πωλήσεων μεταξύ 1 και 4

pbinom(q = 4, size = 10, prob = 0.2, lower.tail = TRUE) -
  pbinom(q = 0, size = 10, prob = 0.2, lower.tail = TRUE)

[1] 0.8598323

diff( pbinom(q = c(0, 4), size = 10, prob = 0.2, lower.tail = TRUE) )

sum(dbinom(x = 1:4, size = 10, prob = 0.2))

Quantiles

Ρίχνουμε ένα ζάρι 20 φορές. Υποθέτουμε πως επιτυχία είναι να φέρουμε 5 ή 6.

dbinom(x = 0:20, size = 20, prob = 1/3)

Αθροιστική πιθανότητα

n <- 20
k <- 0:n
d <- dbinom(x = k, size = n, prob = 1/3)
tibble(k, d) %>%
  mutate(cp = cumsum(d))

# A tibble: 21 × 3
       k        d       cp
   <int>    <dbl>    <dbl>
 1     0 0.000301 0.000301
 2     1 0.00301  0.00331 
 3     2 0.0143   0.0176  
 4     3 0.0429   0.0604  
 5     4 0.0911   0.152   
 6     5 0.146    0.297   
 7     6 0.182    0.479   
 8     7 0.182    0.661   
 9     8 0.148    0.809   
10     9 0.0987   0.908   
# ℹ 11 more rows

Ερώτημα πιθανότητας

Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος προσπαθειών έτσι ώστε να είμαστε τουλάχιστον 80% σίγουροι για 1 επιτυχία;

qbinom(p = 0.8, size = 20, prob = 1/3)

[1] 8

• Εφαρμόζουμε τη συνάρτηση qbinom
• Το αποτέλεσμα της είναι τιμή στον οριζόντιο άξονα
• Είναι το αντίστροφο της pbinom

4 τύποι συναρτήσεων

• d πυκνότητα πιθανότητας

dbinom(x, size, prob)

• p συνάρτηση πιθανότητας

pbinom(q, size, prob)

• q ποσοστιαία συνάρτηση

qbinom(p, size, prob)

• r ψευδοτυχαίοι αριθμοί

rbinom(n, size, prob)

Ιστόγραμμα γεωμετρικής κατανομής

\[p = 0.25\]

Υπολογισμοί πιθανότητας

Ποια είναι η πιθανότητα να προσληφθούμε με την 1η αίτηση;

dgeom(x = 0, prob = 0.25)

[1] 0.25

Γιατί \(n=0\); Γιατί ζητάμε επιτυχία με την 1η αίτηση, δηλαδή 0 αποτυχίες.

Ποια είναι η πιθανότητα να προσληφθούμε με την 2η αίτηση;

dgeom(x = 1, prob = 0.25)

[1] 0.1875

Δηλαδή 1 αποτυχία και μετά επιτυχία.

Ποια είναι η πιθανότητα να προσληφθούμε με την 1η ή 2η αίτηση;

sum(dgeom(x = 0:1, prob = 0.25))

[1] 0.4375

pgeom(q = 1, prob = 0.25)

[1] 0.4375

Δηλαδή επιτυχία μετά από καμία ή το πολύ 1 επιτυχία.

Πιθανότητα 95%

Πόσες αιτήσεις πρέπει να κάνουμε για να αυξηθεί το ποσοστό πιθανότητας πρόσληψης στο 95%;

qgeom(p = 0.95, prob = 0.25)

[1] 10

11 αιτήσεις