Ζάρι και πιθανότητες

Ας υποθέσουμε πως ρίχνουμε ένα ζάρι. Η πιθανότητα να φέρουμε το όποιο αποτέλεσμα είναι 1/6 (αμερόληπτο ζάρι).

x <- 1:6
y <- rep(1/6, 6)
plot(x, y, type = "h", lwd = 2)
points(x, y, pch = 19, cex = 2)

Μια τέτοια κατανομή ονομάζεται ομοιόμορφη. Επειδή οι τιμές είναι διακριτές (εδώ ακέραιοι αριθμοί) : διακρική κατανομή.

Τυχαία δειγματοληψία

Μπορούμε να κάνουμε προσομοίωση μιας τυχαίας ρίψης ζαριού ως εξής:

sample(x = 1:6, size = 1)

[1] 3

• x, το διάνυσμα τιμών από όπου θα κάνουμε δειγματοληψία
• size είναι το πλήθος του δείγματος

Κλήρωση Ας υποθέσουμε πως θέλουμε να κληρώσουμε 2 νικητές σε μια λίστα 6 ατόμων.

Αν η λίστα είναι αριθμημένη:

sample(x = 1:6, size = 2)

[1] 6 3

Αν η λίστα είναι ονομαστική:

x <- c("Γιώργος", "Πέτρος", "Βασίλης", "Νίκος", "Κώστας")
sample(x, size = 2)

[1] "Πέτρος" "Κώστας"

Τυχαία δειγματοληψία με επανατοποθέτηση

Ας υποθέσουμε πως ρίχνουμε το ζάρι 2 φορές, ή πως ρίχνουμε 2 ζάρια ταυτόχρονα. Οι δύο ρίψεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, η μία δεν επηρεάζει την άλλη.

Σε αυτή την περίπτωση η δειγματοληψία είναι με επανατοποθέτηση: Υπάρχει πιθανότητα οι δύο ρίψεις να φέρουν το ίδιο αποτέλεσμα (διπλές).

sample(x = 1:6, size = 2, replace = FALSE)

[1] 5 2

sample(x = 1:6, size = 2, replace = TRUE)

[1] 4 4

• replace = FALSE, δεν υπάρχει δυνατότητα να έρθει 2η φορά το ίδιο αποτέλεσμα
• replace = TRUE, υπάρχει δυνατότητα να έρθει 2η φορά το ίδιο αποτέλεσμα

100 ζάρια

Προσομοίωση ρίψης 100 ζαριών:

sample(x = 1:6, size = 100, replace = TRUE)

  [1] 2 3 4 2 5 2 5 4 5 5 5 1 1 6 2 1 4 6 4 3 6 2 3 5 3 6 5 6 2 4 1 3 6 4 1 2 5
 [38] 2 1 1 1 1 5 2 6 5 3 2 4 6 1 3 4 4 2 1 4 6 1 5 2 5 2 2 6 6 3 1 2 2 5 3 2 6
 [75] 4 1 5 6 3 4 4 3 5 5 2 4 1 3 2 1 3 3 5 1 2 6 2 1 6 5

Ποιος είναι ο μέσος;

x <- sample(x = 1:6, size = 100, replace = TRUE)
mean(x)

[1] 3.47

ή αλλιώς:

sample(x = 1:6, size = 100, replace = TRUE) %>% mean()

[1] 3.54

Κατανομή του μέσου

Για ένα μεγάλο πλήθος επαναλήψεων η κατανομή του μέσου είναι κανονική:

tibble(i = 1:1e4, 
       k = sample(2:100, size = 1e4, replace = TRUE)) %>%
  rowwise() %>% 
  mutate(m = sample(1:6, size = k, replace = TRUE) %>% mean()) %>% 
  ggplot(aes(x = m)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.1, fill = "#336699", alpha = 0.7) +
  geom_vline(xintercept = 3.5, color = "#FF3333") +
  theme_minimal_grid(font_size = 15)

Η καμπύλη καμπάνας

ggplot() +
  geom_function(fun = dnorm, size = 1, color = "navyblue") +
  scale_x_continuous(limits = c(-4, 4)) +
  theme_void()

Από τη διωνυμική στην κανονική κατανομή

Από τη διωνυμική στην κανονική κατανομή 2

Αποφυγή παρανοήσεων

Πιθανότητα στη διωνυμική κατανομή:

dbinom(x = 2, size = 6, prob = 1/3)

[1] 0.3292181

Πυκνότητα πιθανότητας στην κανονική κατανομή:

dnorm(x = 2, mean = 1.9, sd = 1.21)

[1] 0.3285803

Συναρτήσεις κανονικής κατανομής

d πυκνότητα πιθανότητας

dnorm(x, mean = 0, sd = 1)

p συνάρτηση πιθανότητας

pnorm(q, mean = 0, sd = 1)

q ποσοστιαία συνάρτηση

qnorm(p, mean = 0, sd = 1)

r ψευδοτυχαίοι αριθμοί

rnorm(n, mean = 0, sd = 1)

Ο μέσος και η τυπική απόκλιση μπορούν να οριστούν σε επιθυμητές τιμές κατά περίπτωση.

Οι προεπιλεγμένες τιμές είναι 0 και 1 αντίστοιχα (τυπική κανονική κατανομή).

Παραδείγματα με mean = 0, sd = 1

Ένας τυχαίος αριθμός της \(\mathcal{N}(0, 1)\)

rnorm(1)
rnorm(1, 0, 1)
rnorm(1, mean = 0, sd = 1)
rnorm(n = 1, mean = 0, sd = 1)
rnorm(n = 1, sd = 1, mean = 0)
rnorm(sd = 1, n = 1, mean = 0)

Όλοι οι τρόποι γραφής είναι ισοδύναμοι. Προτίμηση:

rnorm(n = 1, mean = 0, sd = 1)

[1] -0.9029848

Αποφεύγουμε:

rnorm(n = 1, sd = 1, mean = 0)
rnorm(sd = 1, n = 1, mean = 0)

Τυχαίοι αριθμοί και ιστόγραμμα κατανομής (base plot)

x <- rnorm(n = 1000, mean = 0, sd = 1)

hist(x, freq = TRUE)

hist(x, probability = TRUE)

Τυχαίοι αριθμοί και ιστόγραμμα κατανομής (ggplot)

df <- tibble(x = rnorm(n = 1000, mean = 0, sd = 1))

ggplot(df, aes(x)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.5, fill = "#336699", alpha = 0.7) +
  theme_minimal_grid(font_size = 15)

ggplot(df, aes(x)) +
  geom_density(color = "navyblue", size = 1.2) +
  theme_minimal_grid(font_size = 15)

Διάγραμμα συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας

curve(dnorm, 
      from = -4, to = 4, 
      lwd = 2,
      col = "navyblue")

ggplot() +
  geom_function(fun = dnorm, size = 1, color = "navyblue") +
  scale_x_continuous(limits = c(-4, 4)) +
  theme_minimal_grid(font_size = 15)

Διατύπωση

Για ένα οποιοδήποτε διάνυσμα τιμών \(x\) παράγουμε ένα διάνυσμα τιμών \(z\) σύμφωνα με τον τύπο:

Για παράδειγμα, αν

x <- c(5, 7, 2, 6, 10)

Τότε:

( z <- (x - mean(x)) / sd(x) )

[1] -0.3429972  0.3429972 -1.3719887  0.0000000  1.3719887

Ιδιότητες

Μέσος και διακύμανση του διανύσματος τιμών x:

c(mean(x), var(x))

[1] 6.0 8.5

Μέσος και διακύμανση του διανύσματος τιμών z:

c(mean(z), var(z))

[1] 0 1

Δηλαδή έχουμε μετασχηματισμό μιας κατανομής \(\mathcal{N}(6, 8.5)\) σε κατανομή \(\mathcal{N}(0, 1)\)

Ισχύει και σε άλλες κατανομές

Ο μετασχηματισμός μπορεί να εφαρμοστεί ανεξάρτητα από την κανονική κατανομή. Για παράδειγμα έστω \(x\) ένα διάνυσμα τιμών από την ομοιόμορφη κατανομή \((0, 10)\):

x <- runif(n = 100, min = 0, max = 10)
c(mean(x), var(x))

[1] 4.844090 8.503054

Αν εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό \(z\)

z <- (x - mean(x)) / sd(x)

Θα πάρουμε:

c(mean(z), var(z))

[1] 1.150313e-16 1.000000e+00

Ισοεμβαδικές επιφάνειες

Αν \(Χ\simΝ(\mu, \sigma^2)\) τότε \(Z~N(0, 1)\), όπου \(Ζ = \frac{X-\mu}{\sigma}\). Για παράδειγμα αν \(\mu=2\) και \(\sigma=3\):

ggplot(NULL) +
  geom_area(aes(x = c(-Inf, Inf)), stat = "function", fun = dnorm, args = list(mean = 0, sd = 1), fill = "#A52A02", alpha = 0.7) +
  geom_area(aes(x = c(-Inf, Inf)), stat = "function", fun = dnorm, args = list(mean = 4, sd = sqrt(3)), fill = "#556B02", alpha = 0.7) +
  scale_x_continuous(limits = c(-4, 12), breaks = pretty_breaks(10)) +
  labs(x = "", y = "") +
  theme_minimal_hgrid(font_size = 18)

pnorm(Inf, mean = 0, sd = 1)

[1] 1

pnorm(Inf, mean = 4, sd = 3)

[1] 1

Συμμετρία του μέσου

Η πιθανότητα (εμβαδόν) δεξιά και αριστερά του μέσου είναι ίση με 1/2

ggplot(NULL) +
  #geom_area(stat = "function", fun = dnorm, fill = "#00998a", xlim = c(-4, 0)) +
  geom_function(fun = dnorm, size = 1, color = "black") +
  geom_area(aes(x = c(-4, 4)), stat = "function", fun = dnorm, fill = "#A52A02", alpha = 0.7, xlim = c(-4, 0)) +
  geom_area(aes(x = c(-4, 4)), stat = "function", fun = dnorm, fill = "#556B02", alpha = 0.7, xlim = c(0, 4)) +
  annotate(geom = "text", label = "pnorm(q = 0, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE)", size = 7, color = "#A52A02", x = -2.4, y = 0.42) +
  annotate(geom = "text", label = "pnorm(q = 0, mean = 0, sd = 1, lower.tail = FALSE)", size = 7, color = "#556B02", x = 2.4, y = 0.42) +
  scale_x_continuous(limits = c(-4, 4), breaks = pretty_breaks(10)) +
  labs(x = "", y = "") +
  theme_minimal_hgrid(font_size = 18)

Συμμετρία ανεξάρτητα από παραμέτρους

Η πιθανότητα (εμβαδόν) δεξιά και αριστερά του μέσου είναι ίση με 1/2 ανεξάρτητα από το μέσο και τη διακύμανση.

pnorm(q=60, mean=60, sd=4,
      lower.tail=TRUE)

[1] 0.5

pnorm(q=60, mean=60, sd=4, 
      lower.tail=FALSE)

[1] 0.5

Τυπική απόκλιση ως μονάδα μέτρησης

pnorm(q=0.5, mean=0, sd=1)

[1] 0.6914625

pnorm(q=62, mean=60, sd=4)

[1] 0.6914625

Το ίδιο αποτέλεσμα. Γιατί;

Επειδή και στις δύο περιπτώσεις μετράμε στο ίδιο σημείο: μισή μονάδα τυπικής απόκλισης δεξιά από τον μέσο.

Τυπική απόκλιση ως μονάδα μέτρησης 2

diff(pnorm(q=c(-1, 1)))

[1] 0.6826895

diff(pnorm(q=c(-2, 2)))

[1] 0.9544997

diff(pnorm(q=c(-3, 3)))

[1] 0.9973002

diff(pnorm(q=c(56, 64), mean=60, sd=4))

[1] 0.6826895

diff(pnorm(q=c(52, 68), mean=60, sd=4))

[1] 0.9544997

diff(pnorm(q=c(48, 72), mean=60, sd=4))

[1] 0.9973002

Παράδειγμα επιβεβαίωσης

N <- 1e6
x <- rnorm(n=N, mean=0, sd=1) 
sum(x>-1 & x<1) / N

[1] 0.682238

sum(x>-2 & x<2) / N

[1] 0.954219

sum(x>-3 & x<3) / N

[1] 0.997307

N <- 1e6
y <- rnorm(n=N, mean=60, sd=4) 
sum(y>56 & y<64) / N

[1] 0.682441

sum(y>52 & y<68) / N

[1] 0.954602

sum(y>48 & y<72) / N

[1] 0.99729

Ανεξάρτητα από τις παραμέτρους της κανονικής κατανομής, η πιθανότητα να συναντήσουμε αριθμούς εντός περιοχών που ισαπέχουν σε μονάδες τυπικής απόκλισης είναι σταθερή.

Ισοεμβαδικές επιφάνειες και μετασχηματισμός Z

Αν \(Χ~Ν(4, 3)\) ποια είναι η πιθανότητα \(\Pr(X>6)\);

pnorm(q=6, mean=4, sd=sqrt(3),
      lower.tail = FALSE)

[1] 0.1241065

z <- (6 - 4) / sqrt(3)
pnorm(q=z, mean=0, sd=1,
      lower.tail = FALSE)

[1] 0.1241065

Χρειάζεται ο μετασχηματισμός;

Αν έχουμε πρόσβαση σε Η/Υ και σε στατιστικό περιβάλλον (πχ R) όχι δεν χρειάζεται. Αν είμαστε με μολύβι, χαρτί και στατιστικούς πίνακες στο παράρτημα ναι χρειάζεται.

Αθροιστική πυκνότητα πιθανότητας

dnorm(x, mean, sd)

pnorm(q, mean, sd)

Αθροιστική πυκνότητα πιθανότητας και τυπική απόκλιση

Διάγραμμα αθροιστικής πιθανότητας

curve(pnorm, xlim = c(-4, 4), lwd = 2)

ggplot(NULL) +
  geom_function(fun = pnorm, size = 1) +
  xlim(x = c(-4, 4)) 

dnorm vs pnorm

Έστω η μεταβλητή \(X~\sim N(0,1)\). Έστω το σημείο \(x=-\dfrac{1}{2}\).

ggplot(NULL) +
  geom_function(fun = dnorm, args = list(mean = 0, sd = 1), size = 1, color = "#A52A02") +
  geom_point(aes(x=c(-0.5, -0.5), y=c(0, dnorm(x = -0.5, mean = 0, sd = 1))), size = 4) +
  geom_segment(aes(x = c(-0.5, -0.5), 
                   y = c(0, dnorm(x = -0.5, mean = 0, sd = 1)), 
                   xend = c(-0.5, -4), 
                   yend = c(dnorm(x = -0.5, mean = 0, sd = 1),  dnorm(x = -0.5, mean = 0, sd = 1))
                   ), 
               linetype = "dashed") +
  scale_x_continuous(limits = c(-4, 4), expand = expansion(add=c(0, 0.00)),  breaks = pretty_breaks(10)) +
  scale_y_continuous(expand = expansion(add=c(0, 0.01))) +
  labs(x = "", y = "") +
  theme_cowplot(font_size = 28)

dnorm(x=-0.5, mean=0, sd=1)

[1] 0.3520653

ggplot(NULL) +
  geom_function(fun = dnorm, args = list(mean = 0, sd = 1), size = 1, color = "#A52A02") +
  geom_area(aes(x = c(-5, 5)), stat = "function", fun = dnorm, args = list(mean = 0, sd = 1), fill = "#A52A02", alpha = 0.7, xlim = c(-5, -0.5)) +
  scale_x_continuous(limits = c(-4, 4), expand = expansion(add=c(0, 0.00)),  breaks = pretty_breaks(10)) +
  scale_y_continuous(expand = expansion(add=c(0, 0.01))) +
  labs(x = "", y = "") +
  theme_cowplot(font_size = 28)

pnorm(q=-0.5, mean=0, sd=1)

[1] 0.3085375

Άσκηση 1

Η αναμονή (λεπτά της ώρας) σε ένα τηλεφωνικό κέντρο εξυπηρέτησης ακολουθεί την κατανομή \(\mathcal{N}(25, 33)\).

α) Ποια είναι η πιθανότητα αναμονής λιγότερο από 20 λεπτά;

pnorm(q = 20, mean = 25, sd = sqrt(33))

[1] 0.1920441

β) Ποια είναι η πιθανότητα αναμονής περισσότερο από 35 λεπτά;

pnorm(q = 35, mean = 25, sd = sqrt(33), lower.tail = FALSE)

[1] 0.04086138

γ) Ποια είναι η πιθανότητα αναμονής μεταξύ 10 και 24 λεπτών;

pnorm(q = 24, mean = 25, sd = sqrt(33)) -
  pnorm(q = 10, mean = 25, sd = sqrt(33))

[1] 0.4263905

Άσκηση 2

Η ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή μιας μετοχής ακολουθεί (πχ, για τους τελευταίους 3 μήνες) την κατανομή \(\mathcal{N}(0.2, 7)\).

α) Πόση είναι η πιθανότητα αυριανή μεταβολή της να είναι μεταξύ 1% και 2%;

diff(pnorm(q = c(1, 2), mean = 0.2, sd = sqrt(33)))

[1] 0.06761024

β) Πόση είναι πιθανότητα η αυριανή μεταβολή της να είναι ακριβώς 1%;

diff(pnorm(q = c(1, 1), mean = 0.2, sd = sqrt(33)))

[1] 0

γ) Πόση είναι πιθανότητα η αυριανή μεταβολή της να είναι 1% με ακρίβεια ενός δεκαδικού (1.0%);

diff(pnorm(q = c(0.951, 1.05), mean = 0.2, sd = sqrt(33)))

[1] 0.006808735