Ασκήσεις και παραδείγματα με τη διωνυμική κατανομή στην R

Author

Affiliation

Αθανάσιος Σταυρακούδης

Εργαστήριο Εφαρμογών Πληροφορικής και Υπολογιστικών Οικονομικών

Γενικά

Παρακάτω δίνονται κάποιες ασκήσεις με τις απαντήσεις τους. Σε πολλές περιπτώσεις την ίδια σωστή απάντηση μπορούμε να δώσουμε με πολλούς τρόπους. Ένας τρόπος είναι αρκετός. Οι υπόλοιποι σας δίνονται για λόγους εξάσκησης και επίδειξης.

Άσκηση 1

Μία τράπεζα χρηματοδοτεί νεοφυείς επιχειρήσεις (startup). Έχει παρατηρηθεί πως μια τέτοια επιχείρηση έχει πιθανότητα επιβίωσης μετά από 2 χρόνια ίση με 20%. Παράλληλα έχει παρατηρηθεί πως η πιθανότητα να εξαγοραστεί μια τέτοια startup, από κάποια άλλη εταιρεία, μετά από 2 χρόνια, είναι ίση 10%.

Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις.

1. Ερώτημα: Να κάνετε το ακιδόγραμμα της διωνυμικής κατανομής επιβίωσης των startup εταιριών για την περίπτωση που η τράπεζα επενδύει σε 20 startups.

Code

n <- 0:20
p <- dbinom(x = n, size = 20, prob = 0.2)
plot(n, p, type = "h")
points(n, p, pch = 19, cex = 2)

2. Ερώτημα: Να κάνετε το ακιδόγραμμα της διωνυμικής κατανομής εξαγοράς των startup εταιριών για την περίπτωση που η τράπεζα επενδύει σε 16 startups.

Code

n <- 0:16
p <- dbinom(x = n, size = 16, prob = 0.1)
plot(n, p, type = "h")
points(n, p, pch = 19, cex = 2)

3. Ερώτημα: Αν η τράπεζα επενδύσει σε 20 startups, ποια είναι η πιθανότητα να επιβιώσουν τουλάχιστον 5 μετά από 2 χρόνια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.3703517

Code

pbinom(q = 4, size = 20, prob = 0.2, lower.tail = FALSE)
pbinom(4, 20, 0.2, lower.tail = FALSE)
sum(dbinom(x = 5:20, size = 20, prob = 0.2))
sum(dbinom(5:20, 20, 0.2))

4. Ερώτημα: Αν η τράπεζα επενδύσει σε 25 startups, ποια είναι η πιθανότητα να επιβιώσουν τουλάχιστον 10 μετά από 2 χρόνια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.0173319

Code

pbinom(q = 9, size = 25, prob = 0.2, lower.tail = FALSE)
pbinom(9, 25, 0.2, lower.tail = FALSE)
sum(dbinom(x = 10:25, size = 25, prob = 0.2))
sum(dbinom(10:25, 25, 0.2))

5. Ερώτημα: Αν η τράπεζα επενδύσει σε 25 startups, ποια είναι η πιθανότητα να επιβιώσουν το πολύ 4 μετά από 2 χρόνια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.4206743

Code

pbinom(q = 4, size = 25, prob = 0.2, lower.tail = TRUE)
pbinom(4, 25, 0.2)
sum(dbinom(x = 0:4, size = 25, prob = 0.2))
sum(dbinom(0:4, 25, 0.2))

6. Ερώτημα: Αν η τράπεζα επενδύσει σε 15 startups, ποια είναι η πιθανότητα να εξαγοραστούν τουλάχιστον 4 startups μετά από 2 χρόνια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.0555556

Code

pbinom(q = 3, size = 15, prob = 0.1, lower.tail = FALSE)
pbinom(3, 15, 0.1, lower.tail = FALSE)
sum(dbinom(x = 4:15, size = 15, prob = 0.1))
sum(dbinom(4:15, 15, 0.1))

7. Ερώτημα: Αν η τράπεζα επενδύσει σε 18 startups, ποια είναι η πιθανότητα να επιβιώσει αριθμός startups μεταξύ 2 και 5 μετά από 2 χρόνια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.7680045

Code

diff(pbinom(q = c(1, 5), size = 18, prob = 0.2), lower.tail = FALSE)
diff(pbinom(c(1, 5), 18, 0.2), lower.tail = TRUE)
diff(pbinom(c(1, 5), 18, 0.2))
sum(dbinom(x = 2:5, size = 18, prob = 0.2))
sum(dbinom(2:5, 18, 0.2))

8. Ερώτημα: Αν η τράπεζα επενδύσει σε 12 startups, ποια είναι η πιθανότητα να εξαγοραστεί αριθμός startups μεταξύ 3 και 6 μετά από 2 χρόνια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.1108198

Code

diff(pbinom(q = c(2, 6), size = 12, prob = 0.1), lower.tail = FALSE)
diff(pbinom(c(2, 6), 12, 0.1, lower.tail = TRUE))
diff(pbinom(c(2, 6), 12, 0.1))
sum(dbinom(x = 3:6, size = 12, prob = 0.1))
sum(dbinom(3:6, 12, 0.1))

Άσκηση 2

Σε ένας έτος υπάρχουν 145 φοιτήτριες (Κ) και 132 φοιτητές (Α). Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα από τον παραπάνω φοιτητικό πληθυσμό και αναζητούμε την πιθανότητα να συγκεκριμένη έχουμε μίξη αγοριών/κοριτσιών. 6. Ερώτημα: Αν η τράπεζα επενδύσει σε 15 startups, ποια είναι η πιθανότητα να εξαγοραστούν τουλάχιστον 4 startups μετά από 2 χρόνια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.0555556 Για τη διευκόλυνση μας, θεωρούμε (αυθαίρετα) επιτυχία στο (Bernulli) πείραμα μας αν κανείς είναι είναι κορίτσι (K). Οπότε : \[\mathbb{P}(X=K) = \frac{145}{145+132} = 0.5234657\] Το οποίο μπορεί να υπολογιστεί ως:

Code

(Pr <- 145 / (145 + 132))

[1] 0.5234657

Αν χρειαστεί να θεωρήσουμε ως επιτυχία το αγόρι, τότε: \[\mathbb{P}(X=A) = \frac{132}{145+132} = 0.4765343\] Το οποίο μπορεί να υπολογιστεί ως:

Code

(Pr <- 132 / (145 + 132))

[1] 0.4765343

Φυσικά ισχύει: \[\mathbb{P}(X=A) + \mathbb{P}(X=K) = 1\] Την εντολή που προσδιορίζει την πιθανότητα (= σχετική συχνότητα) να είναι είναι κανείς κορίτσι (επιτυχία) μπορούμε να την εκτελέσουμε μόνο μία φορά για όλους τους παρακάτω υπολογισμούς. Οπότε, αν χρειαστούμε την ποθανότητα να είναι κανείς αγόρι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση: \[\mathbb{P}(X=A) = 1 - \mathbb{P}(X=K)\]

Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις. Θεωρούμε πως ισχύει:

Pr <- 145 / (145 + 132)

1 .Ερώτημα: Να κάνετε το ακιδόγραμμα της διωνυμικής κατανομής του να υπάρχουν από 0 έως 15 κορίτσια σε ένα τυχαίο δείγμα 15 φοιτητών.

Code

n <- 0:15
p <- dbinom(x = n, size = 15, prob = Pr)
plot(n, p, type = "h")
points(n, p, pch = 19, cex = 2)

2 .Ερώτημα: Να κάνετε το ακιδόγραμμα της διωνυμικής κατανομής του να υπάρχουν από 0 έως 16 αγόρια σε ένα τυχαίο δείγμα 16 φοιτητών.

Code

n <- 0:16
p <- dbinom(x = n, size = 16, prob = 1-Pr)
plot(n, p, type = "h")
points(n, p, pch = 19, cex = 2)

3. Ερώτημα: Σε ένα τυχαίο δείγμα 20 ατόμων, ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς 6 κορίτσια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.0248331

Code

dbinom(x = 6, size = 20, prob = Pr)
dbinom(6, 20, Pr)
dbinom(6, 20, 0.5234657)

4. Ερώτημα: Σε ένα τυχαίο δείγμα 18 ατόμων, ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς 9 αγόρια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.1818262

Code

dbinom(x = 9, size = 18, prob = 1-Pr)
dbinom(9, 18, 1-Pr)
dbinom(9, 18, 0.4765343)

5. Ερώτημα: Σε ένα τυχαίο δείγμα 45 φοιτητών ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν 20-25 κορίτσια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.6052964

Code

diff(pbinom(q = c(19, 25), size = 45, prob = Pr), lower.tail = FALSE)
diff(pbinom(q = c(19, 25), size = 45, prob = Pr))
diff(pbinom(c(19, 25), 45, Pr), lower.tail = TRUE)
diff(pbinom(c(19, 25), 45, Pr))
sum(dbinom(x = 20:25, size = 45, prob = Pr))
sum(dbinom(20:25, 45, Pr))

6. Ερώτημα: Σε ένα τυχαίο δείγμα 30 φοιτητών ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν 15-19 αγόρια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.4410697

Code

diff(pbinom(q = c(14, 19), size = 30, prob = 1-Pr), lower.tail = FALSE)
diff(pbinom(q = c(14, 19), size = 30, prob = 1-Pr))
diff(pbinom(c(14, 19), 30, 1-Pr), lower.tail = TRUE)
diff(pbinom(c(14, 19), 30, 1-Pr))
sum(dbinom(x = 15:19, size = 30, prob = 1-Pr))
sum(dbinom(15:19, 30, 1-Pr))

7. Ερώτημα: Σε ένα τυχαίο δείγμα 25 φοιτητών ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον 12 κορίτσια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.7375787

Code

pbinom(q = 11, size = 25, prob = Pr, lower.tail = FALSE)
pbinom(11, 25, Pr, lower.tail = FALSE)
sum(dbinom(x = 12:25, size = 25, prob = Pr))
sum(dbinom(12:25, 25, Pr))

7. Ερώτημα: Σε ένα τυχαίο δείγμα 25 φοιτητών ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν το πολύ 12 αγόρια; Απάντηση: Η πιθανότητα είναι ίση με : 0.5937282

Code

pbinom(q = 12, size = 25, prob = 1-Pr, lower.tail = TRUE)
pbinom(12, 25, 1-Pr, lower.tail = TRUE)
sum(dbinom(x = 0:12, size = 25, prob = 1-Pr))
sum(dbinom(0:12, 25, 1-Pr))

Άσκηση 3