Ασκήσεις και παραδείγματα με την κανονική κατανομή στην R

Author

Affiliation

Αθανάσιος Σταυρακούδης

Εργαστήριο Εφαρμογών Πληροφορικής και Υπολογιστικών Οικονομικών

Γενικά

Παρακάτω δίνονται κάποιες ασκήσεις με τις απαντήσεις τους. Σε πολλές περιπτώσεις την ίδια σωστή απάντηση μπορούμε να δώσουμε με πολλούς τρόπους. Ένας τρόπος είναι αρκετός. Οι υπόλοιποι σας δίνονται για λόγους εξάσκησης και επίδειξης.

Αν συμβαίνει το ερώτημα να έχει τυχαίους αριθμούς θα πρέπει να κάνετε αρχικοποίηση με βάση τον αριθμό μητρώου σας, αντικαθιστώντας το 123 που φαίνεται στις απαντήσεις.

Άσκηση 1

Το τηλεφωνικό κέντρο εξυπηρέτησης πελατών μιας εταιρείας δέχεται κλήσεις εξυπηρέτησης. Υποθετικά, το πλήθος των κλήσεων ανά ημέρα ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή \(\mu = 140\) και διακύμανση \(\sigma^2 = 900\).

Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις.

1. Ερώτημα: Να κάνετε ιστόγραμμα της κατανομής 3300 τυχαίων αριθμών μια κατανομής με τις ίδιες ιδιότητες του μέσου και της διακύμανσης, χρησιμοποιώντας 21 ταξικά διαστήματα.

Code

set.seed(123)
x <- rnorm(3300, mean = 140, sd = sqrt(900))
hist(x, nclass = 21)

2. Να κάνετε το διάγραμμα της θεωρητικής πυκνότητας πιθανότητας μιας κατανομής με τις ίδιες ιδιότητες.

Code

x <- seq(from = 140-4*30, to = 140+4*30, by = 0.1)
y <- dnorm(x, mean = 140, sd = 30)
plot(x, y, type = "l")

3. Ποια είναι η πιθανότητα να γίνει σε μια μέρα αριθμός κλήσεων μεταξύ 80 και 100;
   Απάντηση: Η πιθανότητα είναι: 0.0684611

Code

diff(pnorm(c(80, 100), mean = 140, sd = sqrt(900)))
diff(pnorm(c(80, 100), 140, sqrt(900)))
diff(pnorm(c(80, 100), 140, 30))
pnorm(100, mean = 140, sd = sqrt(900)) - pnorm(80, mean = 140, sd = sqrt(900))
pnorm(100, 140, sqrt(900)) - pnorm(80, 140, sqrt(900))

4. Ποια είναι η πιθανότητα να γίνει σε μια μέρα αριθμός κλήσεων μεταξύ 110 και 140;
   Απάντηση: Η πιθανότητα είναι: 0.3413447

Code

diff(pnorm(c(110, 140), mean = 140, sd = sqrt(900)))
diff(pnorm(c(110, 140), 140, sqrt(900)))
diff(pnorm(c(110, 140), 140, 30))
pnorm(140, mean = 140, sd = sqrt(900)) - pnorm(110, mean = 140, sd = sqrt(900))
pnorm(140, 140, sqrt(900)) - pnorm(110, 140, sqrt(900))

5. Ποια είναι η πιθανότητα να γίνει σε μια μέρα αριθμός κλήσεων μεγαλύτερος από 160;
   Απάντηση: Η πιθανότητα είναι: 0.2524925

Code

pnorm(q = 160, mean = 140, sd = sqrt(900), lower.tail = FALSE)
pnorm(160, 140, sqrt(900), lower.tail = FALSE)
pnorm(160, 140, 30, lower.tail = FALSE)
1 - pnorm(q = 160, mean = 140, sd = sqrt(900))
1 - pnorm(160, 140, 30)

6. Ποια είναι η πιθανότητα να γίνει σε μια μέρα αριθμός κλήσεων μικρότερος από 110;
   Απάντηση: Η πιθανότητα είναι: 0.1586553

Code

pnorm(q = 110, mean = 140, sd = sqrt(900), lower.tail = TRUE)
pnorm(q = 110, mean = 140, sd = sqrt(900))
pnorm(110, mean = 140, sd = sqrt(900))
pnorm(110, 140, sqrt(900))
pnorm(110, 140, 30)

7. Από ποιον αριθμό Ν κλήσεων και μετά η πιθανότητα να γίνουν τουλάχιστον Ν τουλάχιστον κλήσεις σε μια μέρα είναι τουλάχιστον 75%; Προσοχή, πρέπει να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός σε ακέραιο.
   Απάντηση: Αριθμός κλήσεων: 120. Αυτό σημαίνει πως κατά 75% οι κλήσεις που γίνονται σε μια μέρα είναι τουλάχιστον 120.

Code

round(qnorm(p = 0.75, mean = 140, sd = sqrt(900), lower.tail = FALSE))
round(qnorm(0.75, 140, sqrt(900), lower.tail = FALSE))
round(qnorm(0.75, 140, 30, lower.tail = FALSE))

8. Δώστε έναν τυχαίο αριθμό κλήσεων μιας ημέρας. Προσοχή, πρέπει να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός σε ακέραιο.
   Απάντηση: Ένας τυχαίος αριθμός είναι: 123

Code

set.seed(123)
round(rnorm(n = 1, mean = 140, sd = sqrt(900)))
round(rnorm(1, 140, sqrt(900)))
round(rnorm(1, 140, 30))

Άσκηση 2

Το κέρδος μια σειράς σειράς επενδυτικών πράξεων μιας εταιρείας επενδύσεων ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή \(\mu = 7417.45\) και τυπική απόκλιση \(\sigma = 8812.91\). Το κέρδος μπορεί να πάρει αρνητική τιμή, που σημαίνει έχουμε στην πραγματικότητα απώλεια αντί κέρδος. Τα αναφερόμενα νούμερα είναι σε EUR, επομένως καλό είναι οι υπολογιζόμενες ποσότητες σε EUR να στρογγυλοποιούνται σε δύο δεκαδικά ψηφία.

Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις.

1. Ερώτημα: Να κάνετε ιστόγραμμα της κατανομής 500 τυχαίων αριθμών μια κατανομής με τις ίδιες ιδιότητες του μέσου και της διακύμανσης, χρησιμοποιώντας 11 ταξικά διαστήματα.

Code

set.seed(123)
x <- rnorm(n = 500, mean = 7417.45, sd = 8812.91)
hist(x, nclass = 11)

2. Να κάνετε το διάγραμμα της θεωρητικής πυκνότητας πιθανότητας μιας κατανομής με τις ίδιες ιδιότητες.

Code

x <- seq(from = 7417.45-4*8812.91, to = 7417.45+4*8812.91, by = 1)
y <- dnorm(x, mean = 8812.91, sd = 8812.91)
plot(x, y, type = "l")

3. Ποια είναι η πιθανότητα αρνητικών κερδών (ζημιών);
   Απάντηση: Ένας τυχαίος αριθμός είναι:

Code

pnorm(q = 0, mean = 7417.45, sd = 8812.91)
pnorm(0, 7417.45, 8812.91)

4. Ποια είναι η πιθανότητα κέρδους άνω των 1000 EUR;
   Απάντηση: H πιθανότητα είναι: 0.7667506

Code

pnorm(q = 1000, mean = 7417.45, sd = 8812.91, lower.tail = FALSE)
pnorm(1000, 7417.45, 8812.91, lower.tail = FALSE)
1 - pnorm(q = 1000, mean = 7417.45, sd = 8812.91)
1 - pnorm(1000, 7417.45, 8812.91)

5. Ποια είναι η πιθανότητα κέρδους άνω των 15000 EUR;
   Απάντηση: H πιθανότητα είναι: 0.1947867

Code

pnorm(q = 15000, mean = 7417.45, sd = 8812.91, lower.tail = FALSE)
pnorm(15000, 7417.45, 8812.91, lower.tail = FALSE)
1 - pnorm(q = 15000, mean = 7417.45, sd = 8812.91)
1 - pnorm(15000, 7417.45, 8812.91)

6. Ποια είναι η πιθανότητα κέρδους ακριβώς 15000 EUR;
   Απάντηση: H πιθανότητα είναι ιση με 0. Ο αριθμός που προκύπτει 0.0000313 είναι εξαιτίας σφαλμάτων αριθμητικής προσέγγισης.

Code

dnorm(x = 15000, mean = 7417.45, sd = 8812.91)
dnorm(15000, 7417.45, 8812.91)

7. Ποια είναι η πιθανότητα κέρδους μεταξύ 2000 και 5000 EUR;
   Απάντηση: . Η πιθανότητα είναι: 0.1225534.

Code

diff(pnorm(q = c(2000, 5000), mean = 7417.45, sd = 8812.91))
diff(pnorm(c(2000, 5000), 7417.45, 8812.91))
pnorm(q = 5000, mean = 7417.45, sd = 8812.91) - pnorm(q = 2000, mean = 7417.45, sd = 8812.91)
pnorm(5000, 7417.45, 8812.91) - pnorm(2000, 7417.45, 8812.91)

8. Από ποιο ποσό κέρδους σε EUR και πάνω η πιθανότητα είναι 10%;
   Προσοχή, πρέπει να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός σε 2 δεκαδικά ψηφία.
   Απάντηση: 16923.29. Αυτό σημαίνει πως κατά 10% το κέρδος είναι μεγαλύτερο από 16923.29.

Code

round(qnorm(p = 0.1, mean = 7417.45, sd = 7417.45, lower.tail = FALSE), 2)
round(qnorm(0.1, 7417.45, 7417.45, lower.tail = FALSE), 2)
round(qnorm(p = 0.9, mean = 7417.45, sd = 7417.45), 2)
round(qnorm(0.9, 7417.45, 7417.45), 2)

Άσκηση 3