Υπολογισμός συνάρτησης ελαστικότητας ως προς την τιμή από την καμπύλη ζήτησης με το Maxima

Εδώ τα δεδομένα είναι:

  1. Η καμπύλη ζήτησης, μια σχέση της μορφής
    $$ p = f(q) $$
  2. Ένα ή περισσότερα σημεία πάνω στο κάθετο άξονα της τιμής

Τα ζητούμενα είναι:

  1. Η κατασκευή της συνάρτησης ελαστικότητας ως προς την τιμή, μια σχέση της μορφής
    $$ E_D = f(p) $$
  2. Ο υπολογισμός της ελαστικότητας σημείου σε ένα ή περισσότερα σημεία.

Γενικό παράδειγμα:

Έστω πως η καμπύλη ζήτησης δίνεται από τη γραμμική σχέση:
$$p=a-b\,q$$

Και πως θέλουμε να υπολογίσουμε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο:
$$ p = P_0 $$

Λύση:

D     : p = a - b*q;
sol   : solve (D, q);
D(p)  := ''(rhs(sol[1]));
Ed(p) := ''( p / D(p) * diff(D(p), p) );
Ed(P0);

Ειδικό παράδειγμα:

Έστω πως η καμπύλη ζήτησης δίνεται από τη γραμμική σχέση:
$$p=20-4\,q$$

Και πως θέλουμε να υπολογίσουμε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στα σημεία:
$$ p_0 = 10, \quad p_2 = p_0 - 5, \quad p_2 = p_0 + 5 $$

Λύση:

D     : p = 20 - 4*q;
p0    : 10;
sol   : solve (D, q);
D(p)  := ''(rhs(sol[1]));
Ed(p) := ''( p / D(p) * diff(D(p), p) );
Ed(p0);
Ed(p0-5); 
Ed(p0+5);

Σημείωση: Και στις δύο περιπτώσεις το κλειδί για τη λύση είναι η κατασκευή της συνάρτησης ζήτησης από την καμπύλη ζήτησης και στη συνέχεια ο ορισμός της συνάρτησης ελαστικότητας ζήτησης ως προς την τιμή, Ed(p).

Επιπλέον εξάσκηση: Στο παραπάνω παράδειγμα ειδικής λύσης
$$p = 20 - 4 \, q$$
δείξτε πως ισχύει
$$ E_D(p_0-p_C) \times E_D(p_0+p_C) = 1 $$
για κάθε $$p_C$$ (όχι μόνο για $$p_C=5$$), με την προϋπόθεση πως p0 είναι το σημείο μοναδιαίας ελαστικότητας, όπως ισχύει στο παραπάνω παράδειγμα ($$p_0=10$$).

Γεωμετρικός υπολογισμός της ελαστικότητας σημείου

Αν κάνετε την άσκηση της γενικής περίπτωσης, τότε θα βρείτε πως για μια γραμμική καμπύλη ζήτησης της μορφής
$$ p = a - b\,q $$
τότε η ελαστικότητα σημείου ζήτησης ως προς την τιμή δίνεται από τη σχέση:
$$ E_d = \cfrac{p}{p-a} $$
όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Γεωμετρικός υπολογισμός της ελαστικότητας σημείου

Για παράδειγμα, η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο $$p_A=15$$ υπολογίζεται ως εξής:
$$ E_d = \cfrac{15}{15-20} = \cfrac{15}{-5} = -3 $$
δηλαδή το σημείο Α είναι στην ελαστική περιοχή της καμπύλης ζήτησης.

Επίσης, η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο $$p_C=5$$ υπολογίζεται ως εξής:
$$ E_d = \cfrac{5}{5-20} = \cfrac{5}{-15} = -\cfrac{1}{3} $$
δηλαδή το σημείο C είναι στην ανελαστική περιοχή της καμπύλης ζήτησης.

Τέλος, η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο $$p_B=10$$ υπολογίζεται ως εξής:
$$ E_D = \cfrac{10}{10-20} = \cfrac{10}{-10} = -1 $$
δηλαδή το σημείο B είναι το σημείο μοναδιαίας ελαστικότητας. Προφανώς, εφόσον ισχύει
$$p_B = \dfrac{a}{2}$$

Συνδεθείτε για περισσότερες δυνατότητες αλληλεπίδρασης,
σχολιασμοί, εξωτερικοί σύνδεσμοι, βοήθεια, ψηφοφορίες, αρχεία, κτλ.

Σχετικοί εξωτερικοί σύνδεσμοι

Αναζήτηση στο google.com για παρόμοια θέματα

Creative Commons License
Εκπαιδευτικό υλικό από τον Αθανάσιο Σταυρακούδη σας παρέχετε κάτω από την άδεια Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 License.
Σας παρακαλώ να ενημερωθείτε για κάποιους επιπλέον περιορισμούς
http://stavrakoudis.econ.uoi.gr/stavrakoudis/?iid=401.